Question

若m＞0，n＞0，點(diǎn)（-m，n）關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線x-y+2=0上，那么

1

m

+

4

n

的最小值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用軸對(duì)稱(chēng)可得點(diǎn)（-m，n）關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（1-n，1+m），代入直線x-y+2=0，可得m+n=2，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)（-m，n）關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（a，b）．
則

b-n a+m ×(-1)=-1 a-m 2 + n+b 2 -1=0

，解得

a=1-n b=1+m

．
∵點(diǎn)（-m，n）關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P（1-n，1+m）在直線x-y+2=0上，
∴1-n-（1+m）+2=0，
化為m+n=2．
又m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

4

n

=

1

2

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

2

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

2

(5+2

n m • 4m n

)=

9

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=

4

3

時(shí)取等號(hào)．
∴

1

m

+

4

n

的最小值為

9

2

．
故答案為：

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．