Question

3．已知f（x）=e^x+acosx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若f（x）在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)P（1，6），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得f（x）在x=0處的切線方程，利用f（x）在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)P（1，6），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）由f（x）≥ax，可得e^x≥a（x-cosx），令g（x）=x-cosx，$x∈[0，\frac{π}{2}]$，分類討論由e^x≥a（x-cosx），得$a≤\frac{e^x}{x-cosx}$，令$h（x）=\frac{e^x}{x-cosx}$，研究h（x）的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x-asinx，∴f'（0）=1．f（0）=1+a，
∴f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1+a，
∵切線過(guò)點(diǎn)P（1，6），∴6=2+a，∴a=4．
（2）由f（x）≥ax，可得e^x≥a（x-cosx），（*）
令g（x）=x-cosx，$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴g'（x）=1+sinx＞0，且g（0）=-1＜0，$g（\frac{π}{2}）=\frac{π}{2}＞0$，
∴存在$m∈（0，\frac{π}{2}）$，使得g（m）=0，
當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，g（m）＜0；當(dāng)$x∈（m，\frac{π}{2}）$時(shí)，g（m）＞0．
①當(dāng)x=m時(shí)，e^m＞0，g（m）=m-cosm=0，
此時(shí)，對(duì)于任意a∈R（*）式恒成立；
②當(dāng)$x∈（m，\frac{π}{2}]$時(shí)，g（x）=x-cosx＞0，
由e^x≥a（x-cosx），得$a≤\frac{e^x}{x-cosx}$，
令$h（x）=\frac{e^x}{x-cosx}$，下面研究h（x）的最小值．
∵$h'（x）=\frac{{{e^x}（x-cosx-sinx-1）}}{{{{（x-cosx）}^2}}}$與t（x）=x-cosx-sinx-1同號(hào)，
且t'（x）=1+sinx-cosx＞0對(duì)$x∈[0，\frac{π}{2}]$成立，
∴函數(shù)t（x）在$（m，\frac{π}{2}]$上為增函數(shù)，而$t（\frac{π}{2}）=\frac{π}{2}-2＜0$，
∴$x∈（m，\frac{π}{2}]$時(shí)，t（x）＜0，∴h'（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在$（m，\frac{π}{2}]$上為減函數(shù)，∴$h{（x）_{min}}=h（\frac{π}{2}）=\frac{{2{e^{\frac{π}{2}}}}}{π}$，∴$a≤\frac{{2{e^{\frac{π}{2}}}}}{π}$．
③當(dāng)x∈[0，m）時(shí)，g（x）=x-cosx＜0，
由e^x≥a（x-cosx），得$a≥\frac{e^x}{x-cosx}$，
由②可知函數(shù)$h（x）=\frac{e^x}{x-cosx}$在[0，m）上為減函數(shù)，
當(dāng)x∈[0，m）時(shí)，h（x）_max=h（0）=-1，∴a≥-1，
綜上，$a∈[-1，\frac{{2{e^{\frac{π}{2}}}}}{π}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查不等式恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．