Question

13．對(duì)于n∈N^*，將n表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，當(dāng)i=0時(shí)，a_i=1，當(dāng)1≤i≤k時(shí)，a_i為0或1．記I（n）為上述表示中a_i為0的個(gè)數(shù)（例如1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰），故I（1）=0，I（4）=2，則
（1）l（8）=3；
（2）I（1）+I（2）+I（3）+…+I（2048）=9228．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將n 表示為n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實(shí)際是將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù)，
易得8=1×2³+0×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義，可得答案；
（2）由組合數(shù)的性質(zhì)，分析其中I（n）的取值情況，與二項(xiàng)式定理結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前7項(xiàng)和，計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，8=1×2³+0×2²+0×2¹+0×2⁰，則I（8）=3；
（2）I（1）=0=0•2^-1，I（2）+I（3）=1=1•2⁰，
I（4）+I（5）+I（6）+I（7）=4=2•2¹，
I（8）+I（9）+…+I（15）=12=3•2²…，
所以I（1）+I（2）+I（3）+…+I（2048）
=0•2^-1+1•2⁰+2•2¹+…+10•2⁹+11
=9228．
故答案為：3，9228．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了轉(zhuǎn)化思想與二項(xiàng)式定理、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．