Question

【題目】已知拋物線的焦點為是拋物線上橫坐標為4且位于軸上方的點，點到拋物線準線的距離等于5.過點作垂直于軸，垂足為的中點為.

（1）求拋物線方程；

（2）過點作，垂足為，求點的坐標；

（3）以點為圓心，為半徑作圓，當是軸上一動點時，討論直線與圓的位置關系.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）答案不唯一，具體見解析.

【解析】

（1）求得拋物線的準線方程，結(jié)合拋物線的定義，得到，求得的值，即可求得拋物線方程；

（2）根據(jù)題意，求得的坐標，得出和的方程，聯(lián)立方程組，即可求解；

（3）得到圓的圓心是點（0，2），半徑為2，分類討論，即可求得直線和圓的位置關系，得到答案.

（1）由題意，拋物線的準線為，

可得，解得，所以拋物線方程為.

（2）令，代入拋物線的方程，解得，

因為點在的上方，可得，所以點的坐標是（4，4），

由題意，得，

又因為，可得，又由，所以，

所以的方程為，的方程為，

解方程組，解得，即點的坐標為.

（3）由題意，得圓的圓心是點（0，2），半徑為2，

當時，直線的方程為，此時，直線與圓相離；

當時，直線的方程為，即為，

圓心到直線的距離，

令，解得，

所以當時，直線與相離；當時，直線與圓相切；當時，直線與圓相交.