Question

【題目】過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，且直線的斜率分別為，則中有幾個是定值？反過來是否成立？

Answer 1

【答案】3個均為定值，反過來不一定成立

【解析】

根據(jù)直線是否存在斜率進行分類討論，當存在斜率時，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行驗證即可，當不存在斜率時，直接求出坐標，再進行驗證；反過來時，假設(shè)三個都是定值，直線是否存在斜率進行分類討論，當存在斜率時，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行判斷直線是否過拋物線的焦點，當不存在斜率時，直接求出坐標，再進行判斷直線是否過拋物線的焦點即可；

解：設(shè)直線的方程為，即．

代入，得，則．

又．

若直線與軸垂直，由，得．

可求得，則．

故均為定值．

反過來，當時，設(shè)直線的方程為，即，代入拋物線方程，得，則

．

即直線過焦點．若直線的斜率不存在，也同樣有此結(jié)論．

若，則可能為拋物線上軸上方的兩點，則此直線一定不過焦點．

因此由不能得到直線過焦點．

若．

故當時，直線也過焦點，若直線的斜率不存在，也同樣有此結(jié)論．

綜上所述可知，分別為定值；反過來，只有時，才有直線過焦點．