Question

15．設(shè)f（x）=ae^x+$\frac{1}{a{e}^{x}}$+b（a＞0）．
（1）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（2）設(shè)曲線y=f（x）在點（2，f（2））的切線方程為3x-2y=0，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=e^x（t≥1），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可．

解答 解：（1）設(shè)t=e^x（t≥1），
則y=at+$\frac{1}{at}$+b⇒y′=a-$\frac{1}{{at}^{2}}$=$\frac{{{a}^{2}t}^{2}-1}{{at}^{2}}$，
①a≥1時，y′＞0⇒y=at+$\frac{1}{at}$+b在t≥1上遞增，
得：t=1即x=0時，f（x）的最小值是a+$\frac{1}{a}$+b；
②0＜a＜1時，y=at+$\frac{1}{at}$+b≥2+b，
當(dāng)且僅當(dāng)at=1（t=e^x=$\frac{1}{a}$，x=-lna）時，f（x）的最小值是b+2；
（2）f（x）=ae^x+$\frac{1}{a{e}^{x}}$+b⇒f′（x）=ae^x-$\frac{1}{{ae}^{x}}$，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=3}\\{f′（2）=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{{ae}^{2}+\frac{1}{{ae}^{2}}+b=3}\\{{ae}^{2}-\frac{1}{{ae}^{2}}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{{e}^{2}}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，是一道中檔題．