Question

4．已知函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，則不等式f（x）＞e${\;}^{\frac{x}{2}}$的解集是（　　）

• A． （ln2，+∞）
• B． （2ln2，+∞）
• C． （-∞，ln2）
• D． （-∞，2ln2）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，繼而求出答案．

解答 解：∵?x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-$\frac{1}{2}$f（x）＞0，于是有（$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，則有g(shù)（x）在R上單調(diào)遞增，
∵不等式f（x）＞${e}^{\frac{x}{2}}$，
∴g（x）＞1，
∵f（ln4）=2，
∴g（ln4）=1，
∴x＞ln4=2ln2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．