Question

如圖所示，有一塊半徑長(zhǎng)為1米的半圓形鋼板，現(xiàn)要從中截取一個(gè)內(nèi)接等腰梯形部件，設(shè)梯形部件的面積為平方米.

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)(米)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式.

（2）求梯形部件面積的最大值．

Answer 1

（1）①，②；（2）的最大值是.

【解析】

試題分析：（1）①利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可以將等腰梯形的腰用含的代數(shù)式表示出來(lái)，從而可得與的函數(shù)關(guān)系式：，②：仿照（1）中的作法，將相關(guān)線段長(zhǎng)度用含的代數(shù)式表示出來(lái)即可：；（2）根據(jù)（1）可得，問(wèn)題等價(jià)于求（1）中所得的函數(shù)解析式的最大值，選擇②中求得的函數(shù)解析式，考慮利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性來(lái)求其最值：

，

令，得，即，(舍)，

∴當(dāng)時(shí)， ，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減 ， ∴當(dāng)時(shí)，.

試題解析：（1）①∵，∴，，

∴， 4分

②∵，∴，

∴， 8分

（說(shuō)明：若函數(shù)的定義域漏寫或錯(cuò)誤，則一個(gè)扣1分）

（2），

10分

令，得，即，(舍)， 12分

∴當(dāng)時(shí)， ，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減 ， 14分 ∴當(dāng)時(shí)，， 16分

答：梯形部件面積的最大值為平方米．

考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的運(yùn)用；2.三角函數(shù)求最值.