Question

10．已知f（x）=$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（2）證明f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷證明f（-x）=-$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$=-f（x），即可判定函數(shù)的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂，利用作差法證明f（x₁）＜f（x₂），即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，化抽象函數(shù)為具體函數(shù)，即可解不等式．

解答 解（1）（x）是奇函數(shù)，理由如下：
∵f（x）的定義域為R，且f（-x）=-$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．…（4分）
證明：（2）f（x）=$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$
設(shè)x₁＜x₂，則                      …（5分）
f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{1}}+1}$--（1-$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2（1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}）}{（1{0}^{2{x}_{1}}+1）（1{0}^{2{x}_{2}}+1）}$  …（7分）
∵y=10^x為增函數(shù)，
∴當(dāng)x₁＜x₂時，$1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在定義域上為增函數(shù)．…（9分）
（3）不等式可化為f（1-m）＞-f（1-m²）        …（10分）
由（1）知f（x）是奇函數(shù)，
∴f（1-m）＞f（m²-1）…（11分）
由（2）知f（x）在定義域上為增函數(shù)，
∴1-m＞m²-1   …（12分）
解得-2＜m＜1．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．