Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，且，底面，為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角 的余弦值；

（3）設(shè)，若，寫(xiě)出的值（不需寫(xiě)過(guò)程）.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）證明 平面，只要在面內(nèi)找到一條直線與平行；

（2）以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出兩個(gè)面的法向量，再求法向量的夾角，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)二面角的平面角為鈍角，從而求得二面角的余弦值。

（3）由，可證得平面，進(jìn)而得到，再利用相似得到為中點(diǎn)。

（1）連接交于，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>為矩形，，為對(duì)角線，

所以為中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，

所以，平面，平面，

所以 //平面.

（2）因?yàn)?/span>底面，所以底面，

又，所以以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.，，

設(shè)平面的法向量為,則有，即

令，則.

由題意底面，所以為平面的法向量，

所以，又由圖可知二面角為鈍二面角，

所以二面角 的余弦值為。

（3）.