Question

12．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$在某一個周期的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
Asin（ωx+φ）+B	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（1）請求出上表中的x₁，x₂，x₃，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$mf（$\frac{x}{π}$-$\frac{2}{3}$）≥m+2對任意x∈[0，2π]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)列關(guān)于ω、φ的二元一次方程組，求得ω、φ的值，得到函數(shù)解析式，進一步求得x₁、x₂、x₃；
（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用換元法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值小值，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}ω+φ=\frac{π}{2}}\\{\frac{7}{3}ω+φ=\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{ω=\frac{π}{2}}\\{φ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}{x}_{1}+\frac{π}{3}=0}\\{\frac{π}{2}{x}_{2}+\frac{π}{3}=π}\\{\frac{π}{2}{x}_{3}+\frac{π}{3}=2π}\end{array}\right.$，
∴x₁=-$\frac{2}{3}$，x₂=$\frac{4}{3}$，x₃=$\frac{10}{3}$．
又∵A=$\sqrt{3}$，B=0，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$mf（$\frac{x}{π}$-$\frac{2}{3}$）≥m+2對任意x∈[0，2π]恒成立，
∴3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$msin$\frac{x}{2}$-m-2≥0，
設(shè)sin$\frac{x}{2}$∈[0，1]，
則m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{3sin\frac{x}{2}+1}$，
設(shè)t=3sin$\frac{x}{2}$+1，t∈[1，4]，則sin$\frac{x}{2}$=$\frac{t-1}{3}$
∴y=$\frac{3×\frac{1}{9}（t-1）^{2}-2}{t}$=$\frac{{t}^{2}-2t-5}{3t}$=$\frac{1}{3}$（t-$\frac{5}{t}$-2）在[1，4]上是增函數(shù)
∴t=1時，y_min=-2，
∴m≤-2

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的周期，函數(shù)的值域的求法，恒成立問題，屬于中檔題．