Question

12．等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₄=8，若a₃，a₅分別為等差數(shù)列{b_n}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}﹑{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入即可求得公比q，由b₄=4，b₁₆=16，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)即可求得公差d，即可求得數(shù)列{a_n}﹑{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知：c_n=a_n•b_n=n•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q，
∴a₄=a₁•q³=8，即q³=8，即q=2，
∴a_n=a₁•q^n-1=2^n-1，
∴a₃=4，a₅=16，
∴b₄=4，b₁₆=16，
由等差數(shù)列公差為d，
∴d=$\frac{_{16}-_{4}}{16-4}$=$\frac{16-4}{16-4}$=1，
∴b_n=b₁₆+（n-16）×1=n，
數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n=2^n-1，{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=n；
（2）c_n=a_n•b_n=n•2^n-1，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．
∴S_n=1•1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ，
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
=（1-n）•2ⁿ-1，
S_n=（n-1）•2ⁿ+1，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用，屬于中檔題，．