Question

12．根據(jù)教材P₄₅第6題可以證明函數(shù)g（x）=x²+ax+b滿(mǎn)足性質(zhì)$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，理解其中的含義．對(duì)于函數(shù)f（x）=2^x，h（x）=log₂x及任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，仿照上述理解，可以推測(cè)（　　）

• A． $f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
• B． $f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
• C． $f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$
• D． $f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}，h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析其函數(shù)的圖象中，任意2點(diǎn)的連線(xiàn)必須在圖象的上方，進(jìn)而由函數(shù)f（x）=2^x，h（x）=log₂x的圖象性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，g（x）=x²+ax+b滿(mǎn)足性質(zhì)$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，其函數(shù)的圖象中，任意2點(diǎn)的連線(xiàn)必須在圖象的上方，
如圖：
反之若其圖象中任意2點(diǎn)的連線(xiàn)必須在圖象的下方，必有$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，
對(duì)于函數(shù)f（x）=2^x，其圖象中任意2點(diǎn)的連線(xiàn)必須在圖象的上方，則必有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
對(duì)于函數(shù)h（x）=log₂x，其圖象中任意2點(diǎn)的連線(xiàn)必須在圖象的下方，則必有$h（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≥\frac{{h（{x_1}）+h（{x_2}）}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，關(guān)鍵在于分析題目中$g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{{g（{x_1}）+g（{x_2}）}}{2}$，得到其對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象應(yīng)具有的性質(zhì)．