Question

【題目】已知函數(shù)且.

（1）求a；

（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】（1）a=1；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求得，注意驗證結(jié)果的正確性；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性和的解析式即可證得題中的不等式成立．

試題解析：（1）的定義域為

設(shè)，則等價于

因為

若a=1，則.當(dāng)0＜x＜1時，單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，＞0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故

綜上，a=1

（2）由（1）知

設(shè)

當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，.

因為，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)

由

由得

因為x=x0是f(x)在（0,1）的最大值點(diǎn)，由得

所以

點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出．導(dǎo)數(shù)專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．