【題目】平面直角坐標系中,已知橢圓()的左焦點為,離心率為,過點且垂直于長軸的弦長為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過點的直線與橢圓相交于不同兩點、,求面積的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析:(1)運用橢圓的離心率公式和過焦點垂直于對稱軸的弦長,結合 的關系列出關于 、 、的方程組,求出 、,可得橢圓的方程;(2)討論直線的斜率為和不為,設方程為,代入橢圓方程,運用韋達定理與弦長公式求得弦長,求出點到直線的距離運用三角形的面積公式,化簡整理,運用換元法和基本不等式,即可得到面積的最大值.
試題解析:(1)由題意可得, 令,可得,即有,
又,所以,.
所以橢圓的標準方程為;
(2)設,,直線方程為,
代入橢圓方程,整理得,
則,所以.
∴
當且僅當,即.(此時適合的條件)取得等號.
則面積的最大值是.
【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題,然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,設橢圓: ,長軸的右端點與拋物線: 的焦點重合,且橢圓的離心率是.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過作直線交拋物線于, 兩點,過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點,求面積的最小值,以及取到最小值時直線的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在以、、、、、為頂點的五面體中,平面平面,,四邊形為平行四邊形,且.
(1)求證:;
(2)若,,直線與平面所成角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的左右焦點分別為,且關于直線的對稱點在直線上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若過焦點垂直軸的直線被橢圓截得的弦長為,斜率為的直線交橢圓于,兩點,問是否存在定點,使得,的斜率之和為定值?若存在,求出所有滿足條件的點坐標;若不存在,說明理由.
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