Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）當(dāng)a＜$-\frac{1}{2}$時(shí)，對于?x∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1））令|2x+1|=0，解得x=-$\frac{1}{2}$，令|x-2|=0，解得x=2．對x分類討論即可得出．
（2）令g（x）=f（x）+x，當(dāng)x≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=|x-a|-x-1，由a$＜-\frac{1}{2}$，可得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-a，a＜x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，對于?x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，利用圖象，即可得出．

解答 解：（1））令|2x+1|=0，解得x=-$\frac{1}{2}$，令|x-2|=0，解得x=2．
當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式化為：2x+1+x-2＜4，解得x$＜\frac{5}{3}$，此時(shí)無解；
當(dāng)$-\frac{1}{2}$＜x＜2時(shí)，原不等式化為：2x+1+2-x＜4，解得x＜1，可得$-\frac{1}{2}$＜x＜1；
當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式化為：-2x-1+2-x＜4，解得x＞-1，可得-1＜x≤$-\frac{1}{2}$．
綜上可得：原不等式的解集為{x|-1＜x＜1}．
（2）令g（x）=f（x）+x，當(dāng)x≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，g（x）=|x-a|-x-1，由a$＜-\frac{1}{2}$，
可得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-a，a＜x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x+a-1，x≤a}\end{array}\right.$，對于?x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，
使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈$（-∞，-\frac{1}{2}]$，
作出g（x）的圖象，可得：[g（x）]min=g（a）=-a-1，
∴-a-1≥3，可得a≤-4．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法、不等式的解法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．