已知函數(shù)f（x）=2sin
x
3
（
3
cos
x
3
-sin
x
3
）．
（1）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知f（α）=
1
5
，α∈[
π
2
，
5
4
π]，求sin（
4
3
α+
π
12
）的值．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）化簡得出f（x）=2sin（
2x
3
+
π
6
）-1，求出
2x
3
+
π
6
∈[
π
6
，
5π
6
]，利用三角函數(shù)的圖象求解即可．
（2）求解sin（
2α
3
+
π
6
）=
3
5
，cos（
2α
3
+
π
6
）=-
4
5
，sin2（
2α
3
+
π
6
）=-
24
25
，變換得出cos2（
2α
3
+
π
6
）=
7
25
，sin（
4
3
α+
π
12
）=sin（2（
2α
3
+
π
6
）-
π
4
）．
解答： 解：（1）∵f（x）=2sin
x
3
（
3
cos
x
3
-sin
x
3
）=
3
sin
2x
3
+cos
2x
3
-1=2sin（
2x
3
+
π
6
）-1
∵x∈[0，π]，
∴
2x
3
+
π
6
∈[
π
6
，
5π
6
]
∴sin（
2x
3
+
π
6
）∈[
1
2
，1]
∴2sin（
2x
3
+
π
6
）-1∈[0，1]
即函數(shù)f（x）的值域是[0，1]；
（2）∵f（α）=
1
5
，α∈[
π
2
，
5
4
π]，
π
2
≤
2α
3
+
π
6
≤π，
∴sin（
2α
3
+
π
6
）=
3
5
，cos（
2α
3
+
π
6
）=-
4
5
，
∴sin2（
2α
3
+
π
6
）=-
24
25
，cos2（
2α
3
+
π
6
）=
7
25

∴sin（
4
3
α+
π
12
）=sin（2（
2α
3
+
π
6
）-
π
4
）=
2
2
×（-
24
25
-
7
25
）=-
31
2
50
點評：本題考查了三角函數(shù)的變換求值，關鍵是確定角度范圍，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解不等式：
x2-2ax-24a2
2a+1
＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）在定義域D上存在x1，x2，當x1≠x2時
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，則稱f（x）為“非減函數(shù)”．則以下函數(shù)是“非減函數(shù)”的是
 
．（填上所有正確結論的序號）
①y=1；                   
②y=|2x-1|；
③y=log 
1
2
x+1；
④y=
x-1
x+1
，x∈（0，1）；
⑤y=x 
1
3
，x∈（-2，-1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P（x0，y0），圓O：x2+y2=r2（r＞O），直線l：x0x+y0y=r2，有以下幾個結論：
（1）若點p在圓O上，則直線l與圓O相切；
（2）若點p在圓O外，則直線l與圓O相離；
（3）若點p在圓O內，則直線l與圓O相交；
（4）無論點p在何處，直線l與圓O恒相切．
其中正確的個數(shù)是
 
個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點M（0，1）與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線有（　�。�
A、1條B、2條C、3條D、0條

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義域為R，周期為4的奇函數(shù)，且當x∈[0，2]時，f（x）=|x-1|-1，則方程f（x）=log4x根的個數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，等邊△ABC的邊長為a，將它沿平行于BC的線段PQ折起，使平面A′PQ⊥平面BPQC，若折疊后A′B的長為d，則d的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高（單位cm）
區(qū)間界限[122，126）[126，130）[130，134）[134，138）[138，142）[142，146）
人數(shù)5810223320 
區(qū)間界限[146，150）[150，154）[154，158） 
人數(shù)1165
（1）列出樣本頻率分布表﹔畫出頻率分布直方圖；
（2）估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的百分比；
（3）并根據直方圖計算這120人的身高平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓：
x2
3
+y2=1，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證O到直線AB的距離為定值；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

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