Question

16．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上一點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半徑為2，求OA的長．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的定義即可證明；
（2）利用直徑所對的圓周角為直角及正切函數(shù)的定義可得$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．再利用切線的性質(zhì)可得△CBD∽△EBC，于是$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．設(shè)BD=x，BC=2x，利用切割線定理可得BC²=BD•BE，代入解出即可．

解答 解：（1）證明：如圖，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°，
在Rt△ECD中，∵tan∠CED=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
∵AB是⊙O的切線，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
設(shè)BD=x，BC=2x，
又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+4）．
解得：x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$，
∵BD=x＞0，∴BD=$\frac{4}{3}$．
∴OA=OB=BD+OD=$\frac{4}{3}$+2=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的定義、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．