Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），滿足向量

AnAn+1

與向量

BnCn

共線，且點(diǎn)B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率為6的同一條直線上，若a₁=6，b₁=12．求：
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上，得出

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，即b_n+1-b_n=6，從而得出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，結(jié)合向量共線條件得出a_n+1-a_n=bn最后利用分組求和的方法即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）由于

1

an

=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，利用逐差求和法即可求得數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率為6的同一條直線上，
∴

bn+1-bn

(n+1)-n

=6，
即b_n+1-b_n=6，
于是數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
故b_n=12+6（n-1）=6n+6．
∵

AnAn+1

=(1，an+1-an)，

BnCn

=(-1，-bn)，又

AnAn+1

與

BnCn

共線．
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，
即a_n+1-a_n=bn
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）=3n（n+1）
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
所以a_n═3n（n+1）．
（2）

1

an

=

1

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
Tn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

3

(1-

1

n+1

)=

n

3n+3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列與向量的綜合，綜合運(yùn)用了逐差求和法和分組求和法，難度一般．