Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過F₂作垂直于x軸的直線MF₂交橢圓于M（$\sqrt{2}$，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F₁的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出c的值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出a，b的值，從而求出橢圓C的方程即可；
（Ⅱ）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+$\sqrt{2}$），根據(jù)直線和橢圓的方程求出k的值，從而求出直線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）由條件知$c=\sqrt{2}$，且$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，由a²=b²+c²，
解得，$a=2，b=\sqrt{2}$，…（4分）
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A（-$\sqrt{2}$，-1），B（-$\sqrt{2}$，1），所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≠0，…（6分）
設(shè)直線l的方程為y=k（x+$\sqrt{2}$），
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4k²-4=0．       …（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=-\frac{4{\sqrt{2}k}^{2}}{1+{2k}^{2}}}\\{{{x}_{1}x}_{2}=\frac{{4k}^{2}-4}{1+{2k}^{2}}}\end{array}\right.$                       …（9分）
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0．…（10分）
x₁•x₂+k²（x₁+$\sqrt{2}$）（x₂+$\sqrt{2}$）
=（1+k²）x₁•x₂+$\sqrt{2}$k²（x₁+x₂）+2k²=0．
代入得$\frac{（1{+k}^{2}）（{4k}^{2}-4）}{1+{2k}^{2}}$-$\frac{4{\sqrt{2}k}^{2}•{\sqrt{2}k}^{2}}{1+{2k}^{2}}$+2k²=0，
解得：k=±$\sqrt{2}$．…（12分）
所以直線l的方程為y=±$\sqrt{2}$（x+$\sqrt{2}$），
即$\sqrt{2}x-y+2=0$或$\sqrt{2}x+y+2=0$．

點(diǎn)評(píng) 本試題主要是考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用．