Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，$f（x）=x-\frac{3}{x}-2$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的所有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性推出f（0）=0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用分段函數(shù)，通過x的范圍，分別求解方程的根即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），且f（0）=0．
設(shè)x＜0，則-x＞0，所以$f（-x）=-x+\frac{3}{x}-2=-f（x）$，所以$f（x）=x-\frac{3}{x}+2$．…（4分）
所以函數(shù)f（x）的解析式為$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-\frac{3}{x}+2，x＜0}\\{0，x=0}\\{x-\frac{3}{x}-2，x＞0}\end{array}}\right.$…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)x＜0時，由$x-\frac{3}{x}+2=0$，解得x=1（舍去）或x=-3；…（9分）
當(dāng)x＞0時，由$x-\frac{3}{x}-2=0$，解得x=-1（舍去）或x=3．
所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為-3，0，3．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．