Question

3．已知函數(shù)g（x）=$\frac{{4}^{x}-a}{{2}^{x}}$是奇函數(shù)，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函數(shù)．
（1）求a+b的值．
（2）若對任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{{4}^{x}-a}{{2}^{x}}$是定義在R上的奇函數(shù)，
∴由g（0）=0得1-a=0，得a=1，
則g（x）=$\frac{{4}^{x}-1}{{2}^{x}}$，經(jīng)檢驗g（x）是奇函數(shù)，
由f（-1）=f（1）得lg（10^-1+1）-b=lg（10+1）+b，
即2b=lg（$\frac{11}{10}$×$\frac{1}{11}$）=lg（$\frac{1}{10}$）=-1，
即b=-$\frac{1}{2}$，則f（x）=lg（10^x+1）-$\frac{1}{2}$x，經(jīng)檢驗f（x）是偶函數(shù)
∴a+b=$\frac{1}{2}$       …（5分）（未說明檢驗的扣1分）
（2）∵g（x）=$\frac{{4}^{x}-1}{{2}^{x}}$=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，且g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)．
∴由g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，得
g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k），…（7分）
∴t²-2t＞-2t²+k，在t∈[0，+∞）上恒成立
即3t²-2t＞k，在t∈[0，+∞）上恒成立…（9分）
令F（x）=3t²-2t，在[0，+∞）的最小值為F（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{3}$…（11分）
∴k＜$-\frac{1}{3}$…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，根據(jù)條件建立方程求出a，b的值以及利用函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．