Question

12．已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，PM，切點(diǎn)為Q，M，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（2）若以P為圓心的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求圓P的半徑最小時(shí)圓P的方程；
（3）當(dāng)P點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí)，直線QM是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知Q為切點(diǎn)，可知PQ⊥OQ，結(jié)合勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²及已知|PQ|=|PA|，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得a，b之間的關(guān)系
（2）設(shè)圓P的半徑為R，由圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，可知R=OP，利用兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合（1）中a，b的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求R的最小值，進(jìn)而可求圓的方程；
（3）求出直線MQ的方程，結(jié)合b=3-2a，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
∵|PQ|=|PA|故PA²=PO²-1
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化簡(jiǎn)可得，2a+b-3=0
（2）設(shè)圓P的半徑為R，
∵圓P與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，
∴R=|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a+3）^{3}}$=$\sqrt{5（a-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$，
故當(dāng)a=$\frac{6}{5}$時(shí)，|OP|_min=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
此時(shí)，b=$\frac{3}{5}$，R_min=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1．
得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為$（x-\frac{6}{5}）^{2}+（y-\frac{3}{5}）^{2}=（\frac{3\sqrt{5}}{5}-1）^{2}$；
（3）設(shè)Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂），則
$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{b-{y}_{1}}{a-{x}_{1}}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=-1}\end{array}\right.$化簡(jiǎn)得ax₁+by₁=1，
同理ax₂+by₂=1．
所以，直線MQ的方程為ax+by=1．
∵b=3-2a，代入上式得（x-2y）a+3y-1=0，
令x-2y=0，3y-1=0，得x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
∴直線MQ過(guò)定點(diǎn)（$\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，還考查了一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力，試題具有一定的綜合性．