Question

10．已知正數(shù)x，y滿足x²+4y²+x+2y≤2-4xy，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 正數(shù)x，y滿足x²+4y²+x+2y≤2-4xy，變形為（x+2y）²+（x+2y）-2≤0，可得0＜x+2y≤1．因此$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥$\frac{x+2y}{x}$+$\frac{x+2y}{y}$，化簡(jiǎn)利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵正數(shù)x，y滿足x²+4y²+x+2y≤2-4xy，
∴（x+2y）²+（x+2y）-2≤0，
解得0＜x+2y≤1．
則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥$\frac{x+2y}{x}$+$\frac{x+2y}{y}$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$-1時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．