Question

已知

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)

π

6

≤x≤

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求滿足不等式f（x）≥6的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式，及二倍角的正弦和余弦公式，以及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求的值域和x的取值集合．

解答： 解：由于f（x）=f（x）=

a

•

b

+|

b

|²
=5

3

sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x
=5

3

sinxcosx+sin²x+6cos²x=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3（1+cos2x）
=

5 3

2

sin2x+

5

2

cos2x+

7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，則

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

則-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．即有1≤f（x）≤

17

2

 即f（x）的值域?yàn)閇1，

17

2

]；
（3）由f（x）≥6，即有sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，
即為2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
則有kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．
則滿足不等式f（x）≥6的x的集合為[kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的周期和值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．