Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^4}+k{x^2}+1}}{{{x^4}+{x^2}+1}}\;（k∈R）$，若對任意三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，均存在一個(gè)以f（a）、f（b）、f（c）為三邊之長的三角形，則k的取值范圍是（　�。�

• A． -2＜k＜4
• B． $-\frac{1}{2}＜k＜4$
• C． -2＜k≤1
• D． $-\frac{1}{2}＜k≤1$

Answer 1

分析 化簡f（x）=1+$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，從而討論以確定f（x）的取值范圍，從而解得．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{4}+k{x}^{2}+1}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=1+$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=1，成立；
當(dāng)k＜1時(shí)，
$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)，等號成立）；
故1+$\frac{k-1}{3}$≤f（x）≤1，
故只需使2（1+$\frac{k-1}{3}$）＞1，
解得，k＞-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)k＞1時(shí)，
$\frac{（k-1）{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$=$\frac{k-1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$，
∵x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)，等號成立）；
故1≤f（x）≤1+$\frac{k-1}{3}$，
故只需使2＞$\frac{k-1}{3}$+1，
解得，k＜4；
綜上所述，-$\frac{1}{2}$＜k＜4，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的化簡及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用．