Question

18．關(guān)于函數(shù)f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³和實(shí)數(shù)m、n的下列結(jié)論中正確的是（　　）

• A． 若-3≤m＜n，則f（m）＜f（n）
• B． 若m＜n≤0，則f（m）＜f（n）
• C． 若f（m）＜f（n），則m²＜n²
• D． 若f（m）＜f（n），則m³＜n³

Answer 1

分析 觀察本題中的函數(shù)，可得出它是一個(gè)偶函數(shù)，由于所給的四個(gè)選項(xiàng)都是比較大小的，或者是由函數(shù)值的大小比較自變量的大小關(guān)系的，可先研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，再由偶函數(shù)的性質(zhì)得出在R上的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性判斷出正確選項(xiàng)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³，∴f（-x）=（2^-x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$）•（-x）³=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³ =f（x），
∴函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)．
又x＞0時(shí)，f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）•x³ 是增函數(shù)，且f（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）上是減函數(shù)．
由偶函數(shù)的性質(zhì)知，此類函數(shù)的規(guī)律是：自變量離原點(diǎn)越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對(duì)值小，函數(shù)值就小，反之也成立．
考查四個(gè)選項(xiàng)，A選項(xiàng)無法判斷m，n離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近，故A不能判定是否正確；
B選項(xiàng)m的絕對(duì)值大，其函數(shù)值也大，故不對(duì)；
C選項(xiàng)是正確的，由f（m）＜f（n），一定可得出|m|＜|n|，即m²＜n²；
D選項(xiàng)，由f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m³＜n³，故D不成立，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用題，利用其單調(diào)性比較大小，解答本題的關(guān)鍵是觀察出函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且能判斷出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，最關(guān)鍵的是能由函數(shù)圖象的對(duì)稱性，單調(diào)性轉(zhuǎn)化出自變量的絕對(duì)值小，函數(shù)值就小，反之也成立這個(gè)結(jié)論．本題考查了判斷推理能力，歸納總結(jié)能力，是函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合中綜合性較強(qiáng)的題，解題中能及時(shí)歸納總結(jié)可以順利求解此類題．