Question

6．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°．
（Ⅰ）證明：PB⊥AD；
（Ⅱ）若PB=3，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BD，BE，推導(dǎo)出BE⊥AD，PE⊥AD，從而AD⊥面PBE，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）作PO⊥BE于E，PO⊥面ABCD，求出$PO=PB•sin{30°}=\frac{3}{2}$，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BD，BE，
∵底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，∴△ABD為正三角形，
又∵E為AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，
∵側(cè)面PAD為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD，
∴AD⊥面PBE，∴AD⊥PB．…（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）AD⊥面PBE，得面ABCD⊥面PBE，
作PO⊥BE于O，PO⊥面ABCD，
∵側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形、△ABD為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，
∴$PE=BE=\sqrt{3}$，
又∵PB=3，設(shè)PB的中點(diǎn)為F，$EF=\sqrt{E{B^2}-B{F^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（8分）
∴$sin∠EBP=\frac{EF}{EB}=\frac{1}{2}$，∴∠EBP=30°，∴$PO=PB•sin{30°}=\frac{3}{2}$，…（10分）
∴四棱錐P-ABCD的體積${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．