Question

【題目】已知函數(shù)，共中

（1）判斷，的奇偶性并證明：

（2）證明，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（3）若不等式對(duì)任成恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）

【解析】

（1） 根據(jù)題意先求出函數(shù)的定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再表達(dá)出，找出與的關(guān)系，即可判斷并證明出的奇偶性；

（2） 根據(jù)單調(diào)性的定義，在定義域內(nèi)任取，設(shè)，證明即可。

（3） 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化成，再根據(jù)（2），再將不等式轉(zhuǎn)化為，利用分離參數(shù)法得到，構(gòu)造新函數(shù)令，求出在的最大值即可求出的取值范圍。

（1） 由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且，滿足奇函數(shù)的定義，故函數(shù)為奇函數(shù)。

（2） 證：任取,設(shè),可得，將代入函數(shù)式作差得，

即當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增。

（3） 不等式對(duì)任意恒成立，即

對(duì)任意恒成立，

為R上的奇函數(shù)，

對(duì)任意恒成立，

由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

對(duì)任意恒成立

即對(duì)任意恒成立，即的最大值即可，

令，

再令，可得，且

，可變?yōu)?/span>，

易知在上單調(diào)遞減，

即在上的最大值為-1，

的取值范圍為