Question

18．已知拋物線H：4x²=y的準(zhǔn)線l與雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線交于A，B兩點，若$|{AB}|=\frac{1}{8}$，則雙曲線C的離心率e=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用拋物線4x²=y的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{16}$，雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，求出x=±$\frac{a}{16b}$，根據(jù)$|{AB}|=\frac{1}{8}$，可得a=b，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：拋物線4x²=y的準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{16}$，
∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∴x=±$\frac{a}{16b}$，
∵$|{AB}|=\frac{1}{8}$，
∴$\frac{a}{8b}$=$\frac{1}{8}$，
∴a=b，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．