Question

16．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，F(xiàn)在BC邊上，且$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FC}$，EF與BD交于點(diǎn)P，則$\frac{|BP|}{|PD|}$=（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{|BP|}{|PD|}$=x，$\frac{|FP|}{|EP|}$=y，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，從而可得（$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，從而可得$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$=0且$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，從而解得．

解答 解：設(shè)$\frac{|BP|}{|PD|}$=x，$\frac{|FP|}{|EP|}$=y，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，
則$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$；
故$\overrightarrow{BP}$=$\frac{x}{1+x}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{x}{1+x}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$），
$\overrightarrow{FE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$，
故$\overrightarrow{FP}$=$\frac{y}{1+y}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$），
$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{FP}$=$\frac{x}{1+x}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$）-$\frac{y}{1+y}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{BF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，
∴（$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，
∴$\frac{1}{3}$•$\frac{x}{1+x}$-$\frac{y}{1+y}$•$\frac{2}{3}$=0且$\frac{2}{3}$•$\frac{x}{1+x}$+$\frac{y}{1+y}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{x}{1+x}$=$\frac{4}{5}$，
故x=4；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．