Question

15．2013年4月初眉山市“體彩杯”中小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)圓滿落幕，市文體局舉行表彰大會(huì)．某校有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人，從中選5人參加表彰會(huì)，下列情形各有多少種選派方法（結(jié)果用數(shù)字作答）．
（1）男3名，女2名                 
（2）隊(duì)長(zhǎng)至少有1人參加
（3）至少1名女運(yùn)動(dòng)員              
（4）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．

Answer 1

分析 （1）男3人，女2人的選法有C₆³C₄²種．
（2）把隊(duì)長(zhǎng)只有有1人參加的選法種數(shù)，加上2個(gè)隊(duì)長(zhǎng)都參加的選法種數(shù)，即得所求．
（3）求出所有的選法有C₁₀⁵（種），減去沒(méi)有女運(yùn)動(dòng)員的選法種數(shù)C₆⁵，即得所求．
（4）求出所有的選法有C₁₀⁵（種），求出沒(méi)有隊(duì)長(zhǎng)的選法有C₈⁵（種），再求出有男隊(duì)長(zhǎng)但沒(méi)有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C₅⁴（種），計(jì)算C₁₀⁵-C₈⁵-C₅⁴的結(jié)果，即為所求．

解答 解：（1）從10名運(yùn)動(dòng)員中選5人參加比賽，其中男3人，女2人的選法有C₆³C₄²=120 （種）．
（2）從10名運(yùn)動(dòng)員中選5人參加比賽，其中隊(duì)長(zhǎng)至少有1人參加的選法有C₂¹ C₈⁴+C₂²C₈³=2×70+56=196（種）．
（3）從10名運(yùn)動(dòng)員中選5人參加比賽，所有的選法有C₁₀⁵（種），沒(méi)有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C₆⁵（種），
故其中至少有1名女運(yùn)動(dòng)員參加的選法有C₁₀⁵-C₆⁵=2462 （種）．
（4）從10名運(yùn)動(dòng)員中選5人參加比賽，所有的選法有C₁₀⁵（種），沒(méi)有隊(duì)長(zhǎng)的選法有C₈⁵（種），有男隊(duì)長(zhǎng)但沒(méi)有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C₅⁴（種），
故既要有隊(duì)長(zhǎng)又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法有C₁₀⁵-C₈⁵-C₅⁴=191（種）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一個(gè)中檔題目．