Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n-a_n-1=2^n-1，（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=n（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用“累加求和”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；
（II）利用“錯位相減”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n-a_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1，n=1也成立．
∴a_n=2ⁿ-1．
（II）b_n=n（a_n+1）=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2•(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題考查了“累加求和”、“錯位相減”、等比數(shù)列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．