Question

7．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和側面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中點，D₁E⊥CD，AB=2BC=2．
（1）求證：D₁E⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC₁B₁與平面BED₁的夾角為$\frac{π}{3}$，求線段D₁E的長．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥CD，AD⊥DD₁，得出AD⊥平面CDD₁C₁，于是AD⊥D₁，E，又D₁E⊥CD，故而D₁E⊥底面ABCD；
（2）取AB中點F，則可證明FC⊥平面BD₁E，以E為原點建立坐標系，設D₁E=a，求出平面平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$與平面BED₁的法向量$\overrightarrow{FC}$，令|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{FC}$＞|=$\frac{1}{2}$解出a．

解答 證明：（1）∵底面ABCD和側面BCC₁B₁都是矩形，
∴AD⊥CD，AD⊥DD₁，
又DD′?平面CDD₁C₁，CD?平面CDD₁C₁，CD∩DD₁=D，
∴AD⊥平面CDD₁C₁，又D₁E?平面CDD₁C₁，
∴AD⊥D₁E，
又D₁E⊥CD，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，
∴D₁E⊥平面ABCD．
（2）取AB中點F，連接EF，則四邊形EFBC是正方形，EF⊥CD．
以E為原點，以EF，EC，ED₁為坐標軸建立空間直角坐標系E-xyz，如圖所示：
設D₁E=a，則E（0，0，0），F(xiàn)（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，2，a），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，1，a），$\overrightarrow{FC}$=（-1，1，0）．
設平面BCC₁B₁的法向量為$\overrightarrow{n}$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x=0}\\{y+az=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，-a，1）．
∵FC⊥BE，又FC⊥DE，BE∩D₁E=E，
∴FC⊥平面BED₁．
∴$\overrightarrow{FC}$=（-1，1，0）為平面BD₁E的一個法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{FC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{FC}|}$=$\frac{-a}{\sqrt{2}\sqrt{{a}^{2}+1}}$．
∵平面BCC₁B₁與平面BED₁的夾角為$\frac{π}{3}$，∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{FC}$＞|=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
即$\frac{a}{\sqrt{2}\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=1．
∴D₁E=1．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量的應用與二面角的計算，屬于中檔題．