Question

4．若點(diǎn)P是曲線y=2x-e^x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x的最小距離為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 對(duì)函數(shù)y=f（x）=2x-e^x求導(dǎo)，直線y=x的斜率k=1，當(dāng)斜率為1且與曲線相切的直線L與直線y=x的距離最�。�

解答 解：對(duì)函數(shù)y=f（x）=2x-e^x求導(dǎo)：f'（x）=2-e^x；
直線y=x的斜率k=1，當(dāng)斜率為1且與曲線相切的直線L與直線y=x的距離最�。�
當(dāng)f'（x）=1時(shí)，解得x=0；所以知f（0）=-1；
故直線L方程為：y+1=x；
利用兩平行之間的距離公式d=$\frac{|{C}_{1}-{C}_{2}|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線切點(diǎn)直線方程，以及兩平行線之間的距離公式，屬基礎(chǔ)題．