Question

5．下列命題：
①在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得k²=6.679，則有99%的把握確認這兩個變量間有關(guān)系．
②隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，2），則P（X＜0）=P（x＞2）；
③若二項式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展開式中所有項的系數(shù)之和為243，則展開式中x^-4的系數(shù)是40
④連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，記向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）與向量$\overrightarrow$=（1，-1）的夾角為θ，則θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率是$\frac{7}{12}$．
⑤若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，則a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=31；
其中正確命題的序號為①②④⑤．

Answer 1

分析 ①利用獨立性檢查的性質(zhì)進行判斷．
②利用正態(tài)分布的對稱性進行判斷．
③根據(jù)二項式定理的內(nèi)容進行判斷．
④利用古典概型的概率公式進行判斷．
⑤利用賦值法結(jié)合二項式定理進行判斷．

解答 解：①在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K²=6.679＞6.535，∴有99%的把握確認這兩個變量間有關(guān)系，正確，
②隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，2），則圖象關(guān)于x=1對稱，則P（X＜0）=P（x＞2）；正確，
③若二項式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展開式中所有項的系數(shù)之和為243，
則令x=1，得到（1+2）ⁿ=243，即3ⁿ=243，解得n=5，
∴展開式的通項為T_r+1=${C}_{5}^{r}{x}^{5-r}（\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}={2}^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{5-3r}$，
令5-3r=-4，解得r=3，
∴x^-4的系數(shù)為2³C${\;}_{5}^{3}$=80．則展開式中x^-4的系數(shù)是80，故③錯誤，
④試驗發(fā)生包含的所有事件數(shù)6×6=36個，
∵m＞0，n＞0，
∴$\overrightarrow{a}$=（m，n）與$\overrightarrow$=（1，-1）不可能同向．
∴夾角θ≠0．
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≥0，∴m-n≥0，
即m≥n．當m=6時，n=6，5，4，3，2，1；當m=5時，n=5，4，3，2，1；當m=4時，n=4，3，2，1；
當m=3時，n=3，2，1；當m=2時，n=2，1；當m=1時，n=1．
∴滿足條件的事件數(shù)6+5+4+3+2+1=21個
∴概率P=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$．
則θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率是$\frac{7}{12}$．故③正確，
⑤若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，令x=0，得a₀=-2⁵=-32，
令x=1得（1-2）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀=-1，則a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=32-1=31；故⑤正確，
故答案為：①②④⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及二項式定理，獨立性檢驗以及古典概型的概率計算，正態(tài)分布，綜合性較強，內(nèi)容較多．