Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，實軸長為2．
（1）求雙曲線C的方程；   
（2）若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為4

2

，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由離心率為

3

，實軸長為2．可得

c

a

=

3

，2a=2，再利用b²=c²-a²=2即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與雙曲線的聯(lián)立可得x²-2mx-m²-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[4m2+4(m2+2)]

=4

2

，即可得出．

解答： 解：（1）由離心率為

3

，實軸長為2．
∴

c

a

=

3

，2a=2，解得a=1，c=

3

，
∴b²=c²-a²=2，
∴所求雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=x+m x2- y2 2 =1

⇒x2-2mx-m2-2=0，
△＞0，化為m²+1＞0．
∴x₁+x₂=2m，x1x2=-m2-2．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[4m2+4(m2+2)]

=4

2

，
化為m²=1，
解得m=±1．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．