Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，過橢圓焦點F作弦AB．當(dāng)直線AB斜率為0時，弦AB長4．
（1）求橢圓的方程； 
（2）若|AB|=

60

19

．求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意知e=

c

a

=

1

2

，2a=4，又a²=b²+c²，聯(lián)立即可解出．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3-4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答： 解：（1）由題意知e=

c

a

=

1

2

，2a=4，
又a²=b²+c²，解得：a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

12(k2+1)

3+4k2

=|AB|=

60

19

．
解得k=±2，
∴直線AB方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．