Question

1．按照如下的規(guī)律構(gòu)造數(shù)表：
第一行是：2；
第二行是：2+1，2+3：即3，5；
第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
…
（即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各加1寫出，再各項(xiàng)再加3寫出），若第n行所有的項(xiàng)的和為a_n；
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11
…
（1）求a₃，a₄，a₅；
（2）試寫出a_n+1與a_n的遞推關(guān)系，并據(jù)此求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求S_n和$\underset{lim}{n→∞}$S_n的值．

Answer 1

分析 （1）直接代入計(jì)算即可；
（2）通過觀察可知a_n+1=2a_n+（1+3）•2^n-1，進(jìn)而兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，整理可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過（2）裂項(xiàng)可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₃=4+6+6+8=24，
a₄=5+7+7+9+7+9+9+11=64，
a₅=6+8+8+10+8+10+10+12+8+10+10+12+10+12+12+14=160；
（2）∵從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各加1寫出，再各項(xiàng)再加3寫出，
∴a_n+1=2a_n+（1+3）•2^n-1，即a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，即a_n=n•2ⁿ；
（3）由（2）可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{n+2}}{n（n+1）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$=4[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，
∴S_n=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=4[$\frac{1}{1•{2}^{1}}$-$\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}$-$\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=4[$\frac{1}{1•{2}^{1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=2-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n-1}}$（n∈N^*），
∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$[2-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n-1}}$]=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，考查裂項(xiàng)相消法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．