Question

設(shè)函數(shù)，．
⑴求的極值；
(2)設(shè)函數(shù)（為常數(shù)），若使≤≤在上恒成立的實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)和的值；
(3)討論方程的解的個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

解：⑴令，得，
區(qū)間分別單調(diào)增，單調(diào)減，單調(diào)增，
于是當(dāng)時(shí)，有極大值時(shí)，有極小值；
(2)由已知得在上恒成立，
由得  時(shí)，，時(shí)，，
故時(shí)，函數(shù)取到最小值.從而；
同樣的，在上恒成立，
由得 時(shí)，； 時(shí)，，
故時(shí)，函數(shù)取到最小值. 從而，

由的唯一性知，；
(3)記=
①當(dāng)時(shí)，在定義域上恒大于，此時(shí)方程無解；
②當(dāng)時(shí)，在定義域上為增函數(shù).
，，所以，此時(shí)方程有唯一解。
③當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以在為減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，所以在為增函數(shù)
所以，當(dāng)時(shí)，  
（a）當(dāng)時(shí)， ，所以，此時(shí)方程無解
（b）當(dāng)   時(shí)， ，所以，此時(shí)方程有唯一解
（c）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192210788535.gif" style="vertical-align:middle;" />且，所以方程在區(qū)間上有唯一解，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以   
所以  
因?yàn)?nbsp;，所以
所以 方程在區(qū)間上有唯一解.
所以，此時(shí)方程有兩解.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，     方程無解；
當(dāng)時(shí)， 方程有唯一解；            
當(dāng)時(shí)，        方程有兩解 。

略