Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)B與l垂直的直線(xiàn)和AB的中垂線(xiàn)相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是軌跡E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R，N在y軸上，圓C：（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)M的軌跡為拋物線(xiàn)，根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，則可得拋物線(xiàn)方程．
（2）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線(xiàn)PR的方程可得，由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線(xiàn)PR的距離為1，把x，y代入化簡(jiǎn)整理可得（x-2）b²+2yb-x=0，同理可得（x-2）c²+2yc-x=0，進(jìn)而可知b，c為方程（x-2）x²+2yx-x=0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b-c，進(jìn)而可得△PRN的面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可知當(dāng)當(dāng)x=4時(shí)面積最小，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)知，|MB|=|MA|．
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以為焦點(diǎn)，
為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線(xiàn)PR的方程為（y-b）x-xy+xb=0．
由題設(shè)知，圓心（1，0）到直線(xiàn)PR的距離為1，
即．
注意到x＞2，化簡(jiǎn)上式，得（x-2）b²+2yb-x=0，
同理可得（x-2）c²+2yc-x=0．
由上可知，b，c為方程（x-2）x²+2yx-x=0的兩根，
根據(jù)求根公式，可得．
故△PRN的面積為
，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)成立．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或時(shí)，△PRN的面積取最小值8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常涉及到圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和直線(xiàn)的基本知識(shí)點(diǎn)，如直線(xiàn)被圓錐曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)問(wèn)題，垂直問(wèn)題，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題．與圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．