Question

1．已知△ABC的三邊長成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則這個(gè)三角形最小值的正弦值是$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

Answer 1

分析 設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設(shè)公差為d=2，求出a=c+4和b=c+2，由邊角關(guān)系和條件求出sinA，求出A=60°或120°，再判斷A的值，利用余弦定理能求出三邊長，由余弦定理和平方關(guān)系求出這個(gè)三角形最小值的正弦值．

解答 解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，
設(shè)公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，
則a-b=b-c=2，可得b=c+2，a=c+4，
∴A＞B＞C，
∵最大角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由A∈（0°，180°）得，A=60°或120°，
當(dāng)A=60°時(shí)，∵A＞B＞C，∴A+B+C＜180°，不成立；
即A=120°，則cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（c+2）}^{2}+{c}^{2}-{（c+4）}^{2}}{2c（c+2）}$=$-\frac{1}{2}$，
化簡得$\frac{c-6}{2c}=-\frac{1}{2}$，解得c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{49+25-9}{2×7×5}$=$\frac{13}{14}$，
又C∈（0°，180°），則sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴這個(gè)三角形最小值的正弦值是$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

點(diǎn)評 本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，余弦定理，以及三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用，考查了方程與轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力，推理論證能力．