Question

18．已知F₁為橢圓C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的上焦點，F(xiàn)₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過F₁點作互相垂直的兩條直線分別交拋物線C₂于A，B兩點，交橢圓C₁于C，D兩點，求四邊形ABCD的最小值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C₂：x²=4y的焦點（0，1），即c=1，則|MF₁|=y_M+1=$\frac{5}{3}$，則y_M=$\frac{2}{3}$，丨MF₂丨=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}+1）^{2}}$=$\frac{7}{3}$，由橢圓的定義可知：2a=|MF₁|+丨MF₂丨=4，則b²=3，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）直線AB，y=kx+1，則CD：x=-k（y-1），分別代入拋物線方程及橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式，即可求得S=$\frac{1}{2}$丨AB丨丨CD丨=$\frac{24（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$，利用換元法及函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ABCD的最小值．

解答 解：（1）由題意可知：拋物線C₂：x²=4y的焦點（0，1），則a²-b²=1，
由拋物線的定義可知：|MF₁|=y_M+1=$\frac{5}{3}$，則y_M=$\frac{2}{3}$，
則M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$），橢圓的下焦點為F₂，丨MF₂丨=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}+1）^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
由橢圓的定義可知：2a=|MF₁|+丨MF₂丨=4，a=2，
b²=3，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設直線AB，y=kx+1，則CD：x=-k（y-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，y²-（4k²+2）y+1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則丨AB丨=y₁+y₂+p=4k²+4，
$\left\{\begin{array}{l}{x=-k（y-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）y²-8k²y+4k²-12=0，
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則y₃+y₄=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₃•y₄=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨y₃-y₄丨=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
則四邊形ABCD的面積S，S=$\frac{1}{2}$丨AB丨丨CD丨=$\frac{24（1+{k}^{2}）^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
令t=3+4k²（t≥3），
則S=$\frac{3}{2}$（t+$\frac{1}{t}$+2）≥8，
當t=3，即k=0時，四邊形ABCD的最小值8．

點評 本題考查橢圓的標準方程及拋物線的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查函數(shù)的單調(diào)性與圓錐曲線的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．