Question

（1）當x＞0時，求證：2-

e

x

≤lnx≤

x

e

；
（2）當函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=x有且僅有一個交點，求a的值；
（3）討論函數(shù)y=a^|x|-|x|（a＞0且a≠1）的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=lnx+

e

x

-2，g（x）=lnx-

x

e

，利用導(dǎo)數(shù)法可得f（x）=lnx+

e

x

-2≥0，g（x）=lnx-

x

e

≤0，在當x＞0時恒成立，進而得到2-

e

x

≤lnx≤

x

e

；
（2）令h（x）=a^x-x，（a＞1），可得當x=log_a（log_ae）時，h（x）取最小值log_ae-log_a（log_ae），若函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=x有且僅有一個交點，則h（x）=a^x-x有且僅有一個零點，則log_ae-log_a（log_ae）=0，進而求得a值；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，分當a＞

e	e

時、當a=

e	e

時、當1＜a＜

e	e

時、當a＜1時四種情況，可得函數(shù)y=a^|x|-|x|（a＞0且a≠1）的零點個數(shù)．

解答： 證明：（1）當x＞0時，
令f（x）=lnx+

e

x

-2，
則f′（x）=

1

x

-

e

x2

=

x-e

x2

，
當x∈（0，e）時，f′（x）＜0，當x∈（e，+∞）時，f′（x）＞0，
故當x=e時，f（x）取最小值0，
即f（x）=lnx+

e

x

-2≥0，
即

e

x

≤lnx，
令g（x）=lnx-

x

e

，
則g′（x）=

1

x

-

1

e

=

e-x

ex

，
當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，
故當x=e時，g（x）取最大值0，
即g（x）=lnx-

x

e

≤0，
即lnx≤

x

e

，
綜上可得：當x＞0時，

e

x

≤lnx≤

x

e

（2）令h（x）=a^x-x，（a＞1），
則h′（x）=a^xlna-1，
令h′（x）=0，
則x=log_a（log_ae），
當x∈（0，log_a（log_ae））時，h′（x）＜0，當x∈（log_a（log_ae），+∞）時，h′（x）＞0，
故當x=log_a（log_ae）時，h（x）取最小值log_ae-log_a（log_ae），
若函數(shù)y=a^x（a＞1）與函數(shù)y=x有且僅有一個交點，
則h（x）=a^x-x有且僅有一個零點，
則log_ae-log_a（log_ae）=0，
則e=log_ae，即a=

e	e

（3）由（2）可得：
當a＞

e	e

時，h（x）=a^x-x無零點，此時函數(shù)y=a^|x|-|x|無零點，
當a=

e	e

時，h（x）=a^x-x有且僅有一個零點，此時函數(shù)y=a^|x|-|x|有且僅有兩個零點，
當1＜a＜

e	e

時，h（x）=a^x-x有兩個正零點，此時函數(shù)y=a^|x|-|x|有四個零點，
當a＜1時，h（x）=a^x-x有一個正零點，此時函數(shù)y=a^|x|-|x|有兩個零點．

點評：本題考查的知識點是利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，函數(shù)零點的判定定理，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是函數(shù)，不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．