Question

3．一個暗箱中有大小相同的4只球，其中有k（k∈N^*）只白球，其余的為黑球，每次從中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲從暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙是從暗箱中一次性取出2只球．
（1）當(dāng)k=2時，分別寫出甲、乙總得分ξ、η的分布列；
（2）試求甲總得分比乙總得分高的概率，并求概率最大時k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意甲總得分ξ可為2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲總得分ξ的分布列；乙總得分η可為2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出乙總得分η的分布列．
（2）分別求出當(dāng)k=2時，甲總得分比乙總得分高的概率，k=1時，甲總得分比乙總得分高的概率和k=3時，甲總得分比乙總得分高的概率，從而得到當(dāng)k=2時甲總得分比乙總得分高的概率達(dá)到最大．

解答 解：（1）由題意甲總得分ξ可為2，3，4．
P（ξ=2）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=4）=（$\frac{2}{4}$）²=$\frac{1}{4}$．…（3分）
∴甲總得分ξ的分布列：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

…（4分）
乙總得分η可為2，3，4．
P（η=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（η=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{6}$．…（7分）
∴乙總得分η的分布列：

η	2	3	4
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

…（8分）
（2）由（1）知當(dāng)k=2時，甲總得分比乙總得分高的概率為
P（ξ＞η）=P（ξ=3）•P（η=2）+P（ξ=4）P（η=2）+P（ξ=4）P（η=3）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$． …（10分）
當(dāng)k=1時，甲總得分比乙總得分高的概率為
P（（ξ＞η）=P（ξ=4）•P（η=3）=（$\frac{3}{4}$）²×$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{9}{32}$． …（12分）
當(dāng)k=3時，甲總得分比乙總得分高的概率為
P（ξ＞η）=P（ξ=3）•P（η=2）+P（ξ=4）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}）（\frac{1}{4}）=\frac{1}{4}$，
比較三者得，當(dāng)k=2時甲總得分比乙總得分高的概率達(dá)到最大． …（14分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，考查概率的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．