Question

19．如圖，在四面 體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC 上，且AQ=3QC．
（1）求證：PQ⊥AD；
（2）若∠BDC=45°，求直線CD與平面ACB所成角的大小；
（3）若CD=1，則在線段BD上是否存在點E，使得平面CPE⊥平面CMB？若存在，求出點E的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過P做PH∥AD，交BD于H，過Q作QS∥AD，交DC于S，則PH平行且等于$\frac{1}{4}$AD，QC平行且等于$\frac{1}{4}$AD，證明PQ∥HS，利用AD⊥平面BCD，AD⊥HS，即可證明結(jié)論；
（2）證明∠ACD為直線CD與平面ACB所成角的大小，即可求解；
（3）利用反證法進行判斷即可．

解答 （1）證明：過P做PH∥AD，交BD于H，過Q作QS∥AD，交DC于S，則PH平行且等于$\frac{1}{4}$AD，QC平行且等于$\frac{1}{4}$AD，∴PH平行且等于QS，
∴QSHP為平行四邊形，
∴PQ∥HS，
∵AD⊥平面BCD，
∴AD⊥HS，
∴PQ⊥AD；
（2）解：在△ADC中，做DN⊥AC于N，則
∵DN⊥BC，BC∩AC=C，
∴DN⊥平面ACB．
∴∠ACD為直線CD與平面ACB所成角的大小．
∵AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，∠BDC=45°，
∴AD=DC，
∴∠ACD=45°，
∴直線CD與平面ACB所成角的大小為45°；
（3）解：不存在．假設(shè)存在點E，使得平面CPE⊥平面CMB，交線為CP，過B作CP的垂線，垂足為F，可得F在CP的延長線上，F(xiàn)在下底面上射影N在CH的延長線上，可得BH=$\frac{\sqrt{357}}{18}$＞1，∠CDN為鈍角，從而過C做BD垂線，E在DB的延長線上，而不能在線段上．

點評 本題考查線面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查平面與平面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．