Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；

(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) ; (2)定值是4,詳見解析;

(3)存在, 的坐標為,的面積為.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)橢圓的焦點、離心率和的關(guān)系求出橢圓標準方程中的;(2)先設(shè)，求出直線的方程，并求出它們與軸的交點的坐標，建立三點坐標的關(guān)系，然后利用在橢圓上，從而把中的消去得到定值; (3)先假設(shè)存在點，則有直線與圓相交，進而寫出的面積函數(shù)，發(fā)現(xiàn)利用基本不等式可以求出函數(shù)的最大值，故假設(shè)存在,再求出取得最大值時點的坐標.

試題解析：解：（1）由題意：，解得：              3分

所以橢圓                                 4分

(2) 由（1）可知,設(shè),              

直線:,令,得;               5分

直線:,令,得;               6分

則,                           7分

而,所以,

所以              8分

(3)假設(shè)存在點滿足題意，則，即

設(shè)圓心到直線的距離為，則，且     9分

所以              10分

所以        11分

因為，所以，所以

所以  12分

當且僅當，即時，取得最大值

由，解得        13分

所以存在點滿足題意，點的坐標為

此時的面積為                    14分

考點：1、橢圓的標準方程，、2解析法，3、直線與圓相交問題.