【題目】解答題
（1）求函數(shù)f（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）在0＜x≤ 上的最大值；
（2）證明：不等式x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0，1）上恒成立．

【答案】
（1）解：f′（x）=1+ln（1﹣x）+2，

令f′（x）=0，解得：x= ﹣ （記為x0），

則f（x）在（0，x0）遞減，在（x0， ]遞增，

x→0+時，f′（x）→0，f（π）≤f（ ）=0，即xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，

∴f（x）在（0， ]上的最大值是0


（2）證明：∵g（x）=x1﹣x+（1﹣x）x滿足：g（x）=g（1﹣x），

∴g（x）關于直線x= 對稱，

故只需證明：x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0， ]恒成立，

而g′（x）=x1﹣x（﹣lnx+ ）+（1﹣x）x[ln（1﹣x）﹣ ]，

而g（ ）= ，只需證明g′（x）≥0，①在（0， ]恒成立，

而﹣xlnx+1﹣x＞0，

即只需證明： ≥ ②，

而由（1）可得0＜x≤ 時，（1﹣x）1﹣x≥xx，即 ≥1③，

要使②式成立，只需證明 ≤1在（0， ]上恒成立，

即只需φ（x）=xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）+2x﹣1≤0④，

由（1）得：xlnx﹣（1﹣x）ln（1﹣x）≤0，而2x﹣1≤0，

從而④式成立，

綜合③④可知②式成立，

故①式得證，從而原不等式得證


【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；（2）求出g（x）關于直線x= 對稱，只需證明：x1﹣x+（1﹣x）x≤ 在（0， ]恒成立，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）+ （a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
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【題目】如圖1，在高為2的梯形中， ， ， ，過、分別作， ，垂足分別為、。已知，將梯形沿、同側折起，得空間幾何體，如圖2。

（1）若，證明： ；

（2）若，證明： ；

（3）在（1），（2）的條件下，求三棱錐的體積。

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【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利，某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用，

據(jù)市場分析，每輛單車的營運累計利潤y（單位：元）與營運天數(shù)x滿足函數(shù)關系

式.

（1）要使營運累計利潤高于800元，求營運天數(shù)的取值范圍；

（2）每輛單車營運多少天時，才能使每天的平均營運利潤的值最大？

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【題目】已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0，且直線l與圓C交于A、B兩點．

(1)若|AB|＝，求直線l的傾斜角；

(2)若點P(1,1)滿足2＝，求此時直線l的方程．

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【題目】如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．

（1）求||；

（2）已知點D是AB上一點，滿足=λ，點E是邊CB上一點，滿足=λ．

①當λ=時，求；

②是否存在非零實數(shù)λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，請說明理由．

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【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

晝夜溫差

x (℃)

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)

y(個)

22

25

29

26

16

12

該興趣小組確定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用1月和6月的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

（1）請根據(jù)2、3、4、5月的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程 ；

（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?

（參考公式: ， ）

參考數(shù)據(jù)：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.

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【題目】先后拋擲兩枚大小相同的骰子.

（1）求點數(shù)之和出現(xiàn)7點的概率；
（2）求出現(xiàn)兩個6點的概率；

（3）求點數(shù)之和能被3整除的概率。

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（2）設直線與圓交于兩點，且為的中點，求直線的方程．

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