Question

14．在四面體ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M為AB中點，則線段CM的長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，取BD的中點O，連接OA，OC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空間直角坐標(biāo)系．又AB⊥AD，可得DB=$\sqrt{2}$，取OB中點N，連結(jié)MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴$CM=\sqrt{M{N}^{2}+M{N}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：如圖所示，取BD的中點O，連接OA，OC，
∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．
又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．
又AB⊥AD，∴DB=$\sqrt{2}$．
取OB中點N，連結(jié)MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．
∵M(jìn)N²=ON²+OC²，
∴$CM=\sqrt{M{N}^{2}+M{N}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C，

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系、向量夾角公式、等腰三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．