Question

如圖，在邊長為a的正方體中，M、N、P、Q分別為AD、CD、、的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)P到平面MNQ的距離；

（2）求直線PN與平面MPQ所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）求點(diǎn)到平面距離，關(guān)鍵是過該點(diǎn)作出平面的垂線（段），然后構(gòu)造三角形計(jì)算，也可以利用等面積或者等體積方法計(jì)算，還可以利用空間向量；（2）直線與平面所成角通常通過直線在平面上的射影構(gòu)造三角形計(jì)算，也可以利用平面的法向量計(jì)算.

試題解析：方法1（幾何法）：∵平面，

 

∴點(diǎn)P到平面MNQ的距離等于點(diǎn)B到平面MNQ的距離．設(shè)．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴點(diǎn)P到平面MNQ的距離為． 6分

（2）設(shè)點(diǎn)N到平面MNQ的距離為d．可以求得，

∴．．由得

，∴．設(shè)直線PN與平面MPQ所成的角為，則．故直線PN與平面MPQ所成的角的正弦值為． 12分

方法2（空間向量方法） 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

（1）是平面MNQ的一個(gè)法向量．

∵，∴點(diǎn)P到平面MNQ的距離．

（2）設(shè)平面MPQ的一個(gè)法向量為．．

由得得

∴．．

．設(shè)直線PN與平面MPQ所成的角為，則

．

考點(diǎn)：空間幾何體，線面關(guān)系